//M0//QN1//SUB//DL0//EQ

òu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, R = {(x, y) : y = x + 1} ÚkkÞ íku heíku MktçktÄ R Au, su AÚke A Ãkh ÔÞkÏÞkrÞík Au, íkku (i) yk MktçktÄLku rfhý ykf]rík îkhk Ëþkoðku. (ii) RLkku «Ëuþ, Mkn«Ëuþ íku{s rðMíkkh {u¤ðku.

//X

ynª, x, y ∈ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} íkÚkk y = x + 1 Au.

x = 1, 2, 3, 4, 5 ÷uíkkt yLke ®f{íkku yLkw¢{u 2, 3, 4, 5, 6 {¤u. R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}

RLkku «Ëuþ : {1, 2, 3, 4, 5},

rðMíkkh : {2, 3, 4, 5, 6}

Mkn«Ëuþ : {1, 2, 3, 4, 5, 6}

//M0//QN2//SUB//DL0//EQ

Lke[uLke ykf]rík{kt PÚke QLkku MktçktÄ Ëþkoðu÷ Au. yk MktçktÄLku (i) økwýÄ{oLke heíku, (ii) ÞkËeLke heíku ÷¾ku. íkuLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh þkuÄku.

//X

økwýÄ{oLke heík : R : {(x, y) : x = y2, x ∈ P, y ∈ Q}

ÞkËeLke heík : R : {(9, 3), (9, –3), (4, 2), (4, –2),

(25, 5), (25, –5)}

«Ëuþ : {4, 9, 25}, rðMíkkh : {–2, 2, –3, 3, –5, 5}

//M0//QN3//SUB//DL0//EQ

òu A = {1, 2}, B = {3, 4}, íkku AÚke BLkk MktçktÄkuLke MktÏÞk þkuÄku.

//X

A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.

ynª, n(A) = 2, n(B) = 2 íkÚkk

n(A×B) = n(A) ⋅ n(B) = 2 × 2 = 4 {kxu MktçktÄkuLke MktÏÞk = 24 = 16 ÚkkÞ.

//M0//QN4//SUB//DL0

A = {1, 2, 3, 4, ..., 14}, R = {(x, y) : 3x – y = 0,

x, y ∈ A}. òu R yu AÚke ALkku MktçktÄ nkuÞ, íkku RLkku «Ëuþ, Mkn«Ëuþ yLku rðMíkkh {u¤ðku.

//X

//M0//QN5//SUB//DL0

R = {(x, y) : y = x + 5, x yu 4Úke LkkLke «kf]ríkf MktÏÞk Au, x, y ∈ N} ÚkkÞ íku heíku yuf MktçktÄ N Ãkh ÔÞkÏÞkrÞík Au. RLku ÞkËeLke heíku ÷¾ku. RLkku «Ëuþ íku{s rðMíkkh {u¤ðku.

//X

//M0//QN6//SUB//DL0

A = {1, 2, 3, 5}, B = {4, 6, 9}, R = {(x, y) : x yLku yLkku íkVkðík yÞwø{ MktÏÞk Au. x ∈ A, y ∈ B} ÚkkÞ íku heíku MktçktÄ AÚke B Ãkh ÔÞkÏÞkrÞík Au. RLku ÞkËeLke heíku ÷¾ku.

//X

//M0//QN7//SUB//DL0//EQ

Lke[uLke ykf]rík{kt PÚke QLkku MktçktÄ Ëþkoðu÷ Au. yk MktçktÄLku (i) økwýÄ{oLke heíku, (ii) ÞkËeLke heíku ÷¾ku. íkuLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh þwt Úkþu ?

//X

P = {5, 6, 7}, Q = {3, 4, 5}

(i) økwýÄ{oLke heík : R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q,

x – y = 2}

(ii) ÞkËeLke heík : R = {(5, 3), (6, 4), (7, 5)}

RLkku «Ëuþ : {5, 6, 7},

RLkku rðMíkkh : {3, 4, 5}

//M0//QN8//SUB//DL0

òu A = {1, 2, 3, 4, 6}, R = {(a, b) : a, b ∈ A, b yu a ðzu rð¼kßÞ Au} íku heíku MktçktÄ R yu A Ãkh ÔÞkÏÞkrÞík Au. íkku RLku ÞkËeLke heíku ÷¾ku íkÚkk RLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh {u¤ðku.

//X

//M0//QN9//SUB//DL0

R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} ÚkkÞ íku heíku ÔÞkÏÞkrÞík MktçktÄLkku «Ëuþ íku{s rðMíkkh {u¤ðku.

//X

//M0//QN10//SUB//DL0

MktçktÄ R = {(x, x3) : x yu 10 fhíkkt LkkLke yrð¼kßÞ MktÏÞk Au}Lku ÞkËeLkk MðYÃk{kt ÷¾ku.

//X

//M0//QN11//SUB//DL0

òu A = {x, y, z}; B = {1, 2}, íkku A Úke B Lkk MktçktÄkuLke MktÏÞk þkuÄku.

//X

//M0//QN12//SUB//DL0//EQ

R yu Z Ãkh R = {(a, b) : a, b ∈ Z, a – b yu ÃkqýkOf Au} îkhk ÔÞkÏÞkrÞík Au. RLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh þkuÄku.

//X

ynª, Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...} Au íkÚkk
(a, b) ∈ Z {kxu a – b yu ÃkqýkOf Au.

RLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh çktLku Z Úkþu.

rðÄuÞ yu ÞtºkLke su{ Au, su yLkLÞ ykWxÃkwx Ëhuf RLkÃkwx {kxu ykÃku Au.

ÔÞkÏÞk : yrhõík øký A yLku B {kxu, MktçktÄ f îkhk øký ALkk «íÞuf ½xfLku Mktøkík øký B{kt yLkLÞ «rík®çkçk {¤u Au, íkku yk MktçktÄ fLku AÚke B ÃkhLkwt rðÄuÞ fnu Au. AÚke B ÃkhLkk rðÄuÞLku f : A → B ÷¾kÞ Au.

òu a ∈ A, f(a) = b, b ∈ B íkku bLku f îkhk {¤íkwt aLkwt «rík®çkçk fnuðkÞ Au. aLku f îkhk bLkwt Ãkqðo«rík®çkçk fnuðkÞ Au.

yk{, rðÄuÞ yu rðrþ»x «fkhLkku MktçktÄ Au.

fkuE MktçktÄ yu rðÄuÞ íÞkhu s çkLku ßÞkhu, «ËuþLkku Ëhuf ½xf Mkn«Ëuþ{ktLkk {kºk yLku {kºk yuf s ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ nkuÞ yLÞÚkk ykÃku÷ MktçktÄ yu rðÄuÞ çkLku Lknª.

WËknhý íkhefu,

ynª ykf]rík (i){kt Ëþkoðu÷ MktçktÄ R1 yu rðÄuÞ LkÚke, fkhý fu «Ëuþ{ktLkku ½xf 3 yu Mkn«ËuþLkk fkuE Ãký ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ LkÚke.

ynª ykf]rík (ii){kt Ëþkoðu÷ MktçktÄ R2 yu rðÄuÞ Au, fkhý fu «Ëuþ{ktLkku Ëhuf ½xf yu Mkn«ËuþLkk yLkLÞ ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ Au.

ynª ykf]rík (iii){kt Ëþkoðu÷ MktçktÄ R3 yu rðÄuÞ LkÚke, fkhý fu «Úk{ ½xf 1 yu (Mkn«ËuþLkkt çku) ½xfku MkkÚku òuzkÞu÷ Au.

Äkhku fu, f : A → B nkuÞ, íkku øký ALku fLkku «Ëuþ fnu Au íkÚkk øký BLku fLkku Mkn«Ëuþ fnu Au íkÚkk ALkk çkÄk ½xfkuLkk «rík®çkçkLku fLkku rðMíkkh fnu Au.

ynª, MÃk»x Au fu rðMíkkh ⊆ Mkn«Ëuþ.

òu y-yûkLku Mk{ktíkh Ëkuhu÷ hu¾k ykÃku÷ ð¢Lku yuf fhíkkt ðÄkhu ®çkËwyku{kt AuËu íkku ð¢ yu Võík MktçktÄ Ëþkoðu Au, Ãkhtíkw rðÄuÞ Lk Ëþkoðu.

Ãkhtíkw òu y-yûkLku Mk{ktíkh Ëkuhu÷ hu¾k ykÃku÷ ð¢Lku yuf s ®çkËw{kt AuËu íkku ð¢ yu rðÄuÞ Ëþkoðu Au.

(1) íkËuð rðÄuÞ (Identity Function) :

f : R → R, ∀x ∈ R {kxu f(x) = x Lku íkËuð rðÄuÞ fnu Au

ykLkku yÚko yu ÚkkÞ fu, su RLkÃkwx nkuÞ íku s ykWxÃkwx {¤u.

ynª, íkËuð rðÄuÞLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh R Au.

íkËuð rðÄuÞLkku yk÷u¾ Wøk{®çkËw{ktÚke ÃkMkkh Úkíke hu¾k Ëþkoðu Au.

(2) y[¤ rðÄuÞ (Constant Function) :

f : R → R, ∀x ∈ R, f(x) = c, (ßÞkt, c yu fkuE y[¤ Au)Lku y[¤ rðÄuÞ fnu Au.

y[¤ rðÄuÞLkku «Ëuþ R yLku íkuLkku rðMíkkh {c} Au.

y[¤ rðÄuÞLkku yk÷u¾ X-yûkLku Mk{ktíkh hu¾k Au.

òu c > 0, íkku hu¾k X-yûkLke WÃkh Au.

òu c = 0, íkku hu¾k X-yûk Ãkh MktÃkkíke nþu.

òu c < 0, íkku hu¾k X-yûkLke Lke[u Au.

(3) çknwÃkËe rðÄuÞ (Polynomial Function) :

f : R → R, ∀x ∈ R {kxu

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn, Lku n ½kíkLkwt çknwÃkËe rðÄuÞ fnu Au. ynª, n yu yLk]ý ÃkqýkOf Au.

a0, a1, a2, ..., an ∈ R íkÚkk an ≠ 0.

WËk. f (x) = x3 – x2 + 2, g(x) = x4 + x Au.

h(x) = + 2x LkÚke.

(4) Mkt{uÞ rðÄuÞ (Rational Function) :

g(x) ≠ 0 nkuÞ íkuðk «Ëuþ{kt ÔÞkÏÞkrÞík çknwÃkËe rðÄuÞ f(x) yLku g(x) {kxu Lku Mkt{uÞ rðÄuÞ fnu Au.

(5) {kLkktf rðÄuÞ (Modulus Function) :

f(x) = |x| , f : R → RÚke ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞLku {kLkktf rðÄuÞ fnu Au.

f(x) = |x| =

íkuðe s heíku,

|x – 1| = íkÚkk

|x + 2| = ÷¾e þfkÞ.

{kLkktf rðÄuÞLkku yk÷u¾ Y-yûk «íÞu Mktr{ík nkuÞ Au íkÚkk X-yûkLke WÃkh nkuÞ Au íkÚkk f(x) = |x|Lkku yk÷u¾ Wøk{®çkËw{ktÚke ÃkMkkh ÚkkÞ Au.

{kLkktf rðÄuÞLkku «Ëuþ R íkÚkk rðMíkkh [0, ∞) Au.

(6) r[nTLk rðÄuÞ (Signum Function) :

f : R → R {kxu, f(x) =

ðzu ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞLku r[nTLk rðÄuÞ fnu Au.

«Ëuþ R yLku rðMíkkh {–1, 0, 1} Au.

r[nTLk rðÄuÞ f(x) = ðzu Ãký ËþkoðkÞ Au.

(7) {n¥k{ ÃkqýkOf rðÄuÞ (Greatest Integer Function) :

rðÄuÞ f : R → R, f(x) = [x] yÚkðk x,
∀x ∈ R Lku {n¥k{ ÃkqýkOf rðÄuÞ fnu Auu. ßÞkt, [x] yÚkðk
x yu xÚke LkkLkk yÚkðk xLku Mk{kLk nkuÞ íkuðk ík{k{ ÃkqýkOfku{kt MkkiÚke {kuxku ÃkqýkOf Ëþkoðu Au. íkuLku floor function íkhefu Ãký yku¤¾ðk{kt ykðu Au.

{n¥k{ ÃkqýkOf rðÄuÞLkku «Ëuþ R íkÚkk rðMíkkh Z Au.

fkuE Ãký x ∈ R Lkku {n¥k{ ÃkqýkOf Lke[u {wsçk þkuÄe þfkÞ Au :

[2.3] = 2, [– 3.2] = – 4, [5.99] = 5

[3] = 3, [0] = 0

fkuE Ãký ÃkqýkOf MktÏÞkLke {n¥k{ ÃkqýkOf íku MktÏÞk Ãkkuíku s ÚkkÞ.

(8) rMk®÷øk rðÄuÞ (Ceiling Function) :

rðÄuÞ f : R → R, f(x) = x Lku rMk®÷øk rðÄuÞ fnu Au.

rMk®÷øk rðÄuÞLkku «Ëuþ R yLku rðMíkkh ‘Z’ Au.

fkuE Ãký x ∈ R Lkku rMk®÷øk rðÄuÞ Lke[u {wsçk þkuÄe þfkÞ Au :

2.3 = 3, –3.2 = – 4, 5.99 = 5

3 = 3, 0 = 0

fkuE Ãký ÃkqýkOf MktÏÞkLkku rMk®÷øk rðÄuÞ íku MktÏÞk Ãkkuíku s ÚkkÞ.

(9) ÃkqýkOf ¼køk rðÄuÞ (Fractional Part function) :

rðÄuÞ f : R → R, f(x) = {x}

= x – [x]

Lku ÃkqýkOf ¼køk rðÄuÞ fnu Au.

ÃkqýkOf ¼køk rðÄuÞLkku R yLku rðMíkkh [0, 1) Au.

fkuE Ãký x ∈ R Lkku ÃkqýkOf ¼køk rðÄuÞ Lke[u {wsçk þkuÄe þfkÞ :

{2.3} = 0.3, {– 3.2} = 0.8

{5.99} = 0.99, {3} = 0

fkuE Ãký ÃkqýkOf MktÏÞkLkku ÃkqýkOf ¼køk rðÄuÞLkwt {qÕÞ ‘þqLÞ’ {¤u.

Äkhku fu, f : D1 → R íkÚkk g : D2 → R çku ðkMíkrðf rðÄuÞku Au.

(i) (f + g) (x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ D1 ∩ D2

(ii) (f – g) (x) = f(x) – g(x), ∀x ∈ D1 ∩ D2

(iii) (fg) (x) = f(x) ⋅ g(x), ∀x ∈ D1 ∩ D2

(iv) (x) = ,

∀x ∈ (D1 ∩ D2) – {x : g(x) = 0}

(v) ðkMíkrðf rðÄuÞLkku y[¤ MkkÚku økwýkfkh : òu c yu fkuE y[¤ nkuÞ, íkku (c ⋅ f) (x) = c ⋅ f(x) ÚkkÞ.

//M0//QN13//SUB//DL0

N yu «kf]ríkf MktÏÞkykuLkku øký Au yLku íkuLke Ãkh ÔÞkÏÞkrÞík fkuE MktçktÄ R yuðku Au fu, R = {(x, y) :

y = 2x, x, y ∈ N}, íkku RLkku «Ëuþ, Mkn«Ëuþ yLku rðMíkkh þkuÄku. þwt yk MktçktÄ rðÄuÞ Au ?

//X

//M0//QN14//SUB//DL0//EQ

Lke[uLkkt WËknhýku{kt ykÃku÷ MktçktÄ [fkMkku yLku «íÞuf MktçktÄ rðÄuÞ Au fu Lknª íku fkhý ykÃke sýkðku. (i) R = {(2, 1), (3, 1), (4, 2)} (ii) R = {(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)} (iii) R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)}

//X

(i) R = {(2, 1), (3, 1), (4, 2)}Lku Lke[u {wsçk Ëþkoðe þfkÞ :

2

3

4

R

1

2

ynª, «Ëuþ{ktLkku Ëhuf ½xf Mkn«ËuþLkk yLkLÞ ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ nkuðkÚke ykÃku÷ MktçktÄ yu rðÄuÞ çkLku.

(ii) R = {(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}

2

3

4

R

2

3

4

ynª, «Ëuþ{ktLkku ½xf 2 yu Mkn«ËuþLkk yuf fhíkkt ðÄw ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ nkuðkÚke ykÃku÷ MktçktÄ yu rðÄuÞ çkLku Lknª.

(iii) R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)}

ynª, «Ëuþ{ktLkku Ëhuf ½xf yu Mkn«ËuþLkk yLkLÞ ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ nkuðkÚke ykÃku÷ MktçktÄ yu rðÄuÞ Au.

//M0//QN15//SUB//DL0

N yu «kf]ríkf MktÏÞkykuLkku øký Au f : N → N, f(x) = 2x + 1 îkhk ÔÞkÏÞkrÞík ðkMíkrðf rðÄuÞ Au. yk ÔÞkÏÞkLke {ËËÚke Lke[uLkwt fku»xf Ãkqýo fhku :

//X

//M0//QN16//SUB//DL0//EQ

f : R → R, y = f(x) = x2, x ∈ R Úke ÔÞkÏÞkrÞík yuf rðÄuÞ Au. yk ÔÞkÏÞkLku ykÄkhu Lke[uLkwt fku»xf Ãkqýo fhku. yk rðÄuÞLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh þwt Úkþu ? fLkku yk÷u¾ Ëkuhku.

//X

ynª, y = f(x) = x2 Au.

\ f(– 4) = (– 4)2 = 16, f(– 3) = (– 3)2 = 9,
f(– 2) = (– 2)2 = 4, f(– 1) = (– 1)2 = 1,

f(0) = (0)2 = 0, f(1) = (1)2 = 1, f(2) = (2)2 = 4,

f(3) = (3)2 = 9, f(4) = (4)2 = 16 ÚkkÞ.

x	– 4	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3	4
y=f(x)=x2	16	9	4	1	0	1	4	9	16

ynª, fLkku «Ëuþ R íkÚkk rðMíkkh [0, ∞) Úkþu.

y = f(x) = x2Lkku yk÷u¾ Lke[u {wsçk Au: su Ãkhð÷Þ Ëþkoðu Au.

//M0//QN17//SUB//DL0//EQ

f : R → R, f(x) = x3, x ∈ RÚke ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞLkku yk÷u¾ Ëkuhku.

//X

f(x) = x3 {kxu,

f(0) = (0)3 = 0, f(1) = (1)3 = 1,

f(– 1) = (– 1)3 = – 1, f(2) = (2)3 = 8,

f(– 2) = (– 2)3 = – 8, f(–3) = –27

f(3) = 27 ðøkuhu ...

//M0//QN18//SUB//DL0//EQ

f : R – {0} → R, f(x) = , x ∈ R – {0}Úke ÔÞkÏÞkrÞík yuf rðÄuÞ ykÃku÷ Au. yk ÔÞkÏÞkLkk ykÄkhu Lke[uLkwt fku»xf Ãkqýo fhku. yk rðÄuÞLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh þwt Úkþu ?

//X

y = f(x) = ykÃku÷ Au.

x	– 2	– 1.5	– 1	– 0.5	0.25	0.5	1	1.5	2
y =	– 0.5	–0.67	– 1	– 2	4	2	1	0.67	0.5

fk[ku yk÷u¾ :

//M0//QN19//SUB//DL0//EQ

f(x) = x2, g(x) = 2x + 1 yu çku ðkMíkrðf rðÄuÞku nkuÞ, íkku (f + g)(x), (f – g)(x), (fg)(x), (x) þkuÄku.

//X

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + 2x + 1

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x2 – (2x + 1) = x2 – 2x – 1

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) = x2 (2x + 1) = 2x3 + x2

(x) = , g(x) ≠ 0, = , x ≠

//M0//QN20//SUB//DL0//EQ

f(x) = , g(x) = x yu çku yLk]ý ðkMíkrðf MktÏÞkLkk øký Ãkh ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞ nkuÞ, íkku (f + g)(x), (f – g) (x), (f ⋅ g)(x), (x) þkuÄku.

//X

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = + x

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = – x

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) = ⋅ x = x ⋅ x = x+1 = x

(x) = , g(x) ≠ 0, = , x ≠ 0,

= x–1 = x–, x ≠ 0

//M0//QN21//SUB//DL0//EQ

Lke[uLkk Ãkife fÞku MktçktÄ rðÄuÞ Au ? fkhý ykÃkku. òu íku rðÄuÞ nkuÞ, íkku íkuLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh þkuÄku.(i) {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}

//X

ynª, ykÃku÷ MktçktÄ yu rðÄuÞ Ëþkoðu Au, fkhý fu «Ëuþ{ktLkku Ëhuf ½xf yu Mkn«ËuþLkk yLkLÞ ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ Au.

«Ëuþ : {2, 5, 8, 11, 14, 17}

rðMíkkh : {1}

(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}

ynª, ykÃku÷ MktçktÄ yu rðÄuÞ Ëþkoðu Au, fkhý fu «Ëuþ{ktLkku Ëhuf ½xf yu Mkn«ËuþLkk yLkLÞ ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ Au.

«Ëuþ : {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

rðMíkkh : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}

ynª, ykÃku÷ MktçktÄ yu rðÄuÞ LkÚke, fkhý fu «Ëuþ{ktLkku ½xf 1 yu Mkn«ËuþLkk yuf fhíkkt ðÄw ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ Au.

//M0//QN22//SUB//DL0//EQ

Lke[uLkkt ðkMíkrðf rðÄuÞkuLkk «Ëuþ yLku rðMíkkh þkuÄku.(i) f(x) = – |x|

//X

ynª, f(x) = – |x|{kt xLke fkuE Ãký ðkMíkrðf ®f{ík {qfe þfkíke nkuðkÚke «Ëuþ R Úkþu.

íkÚkk |x|Lkku rðMíkkh [0, ∞) nkuðkÚke – |x|Lkku rðMíkkh
(– ∞, 0] ÚkkÞ.

(ii) f(x) =

«Ëuþ {u¤ððk {kxu,

\ 9 – x2 ≥ 0

\ 9 > x2

\ x2 < 9

\ < 3

\ |x| < 3

\ – 3 < x < 3

\ «Ëuþ : x ∈ [– 3, 3]

rðMíkkh {u¤ððk {kxu,

x ∈ [– 3, 3] ⇒ – 3 < x < 3

⇒ 0 < x2 < 9

⇒ – 9 < – x2 < 0

⇒ 0 < 9 – x2 < 9

⇒ 0 < < 3

⇒ 0 < f(x) < 3

\ f(x) ∈ [0, 3]

\ f(x) = Lkku rðMíkkh [0, 3] Au.

//M0//QN23//SUB//DL0

f(x) = 2x – 5Úke ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞ {kxu Lke[uLke ®f{íkku þkuÄku.(i) f(0)

//X

//M0//QN24//SUB//DL0//EQ

rðÄuÞ ‘t’ yu MkuÂÕMkÞMk{kt W»ýíkk{kLk yLku VuhLknex{kt W»ýíkk{kLk ðå[u YÃkktíkh fhíkwt Mkqºk, t(c) = + 32 îkhk ÔÞkÏÞkrÞík Au, íkku Lke[uLkkt {qÕÞku þkuÄku.

//X

t(c) = + 32

(i) t(0)

(0) + 32 = 0 + 32 = 0

(ii) t(28)

(28) + 32 = + 32 = =

(iii) t(– 10)

(– 10) + 32 = –18 + 32 = 14

(iv) òu t(c) = 212 nkuÞ, íkku c þkuÄku.

\ 212 = c + 32

\ 212 – 32 = c

\ = c

\ c = 100

//M0//QN25//SUB//DL0

Lke[uLkk rðÄuÞkuLkk rðMíkkh þkuÄku.(i) f(x) = 2 – 3x, x ∈ R, x > 0

//X

//M0//QN26//SUB//DL0//EQ

ðkMíkrðf MktÏÞk øký R Ãkh ÔÞkÏÞkrÞík ðkMíkrðf rðÄuÞ f : R → R, f(x) = x + 10, íkku rðÄuÞ fLkku yk÷u¾ Ëkuhku.

//X

f(x) = x + 10, x ∈ R ykÃku÷ Au. f(0) = 0 + 10 = 10,
f(1) = 1 + 10 = 11, f(–5) = –5 + 10 = 5, f(5) = 5 + 10 = 15 ðøkuhu ... ÷uíkkt yk÷u¾ Lke[u {wsçk {¤u :

//M0//QN27//SUB//DL0

òu R yu QÚke Q ÃkhLkku R = {(a, b) : a, b ∈ Q yLku a – b ∈ Z} ÚkkÞ íku heíku ÔÞkÏÞkrÞík MktçktÄ Au, íkku çkíkkðku fu, (i) «íÞuf a ∈ Q {kxu (a, a) ∈ R (ii) òu (a, b) ∈ R, íkku (b, a) ∈ R (iii) òu (a, b) ∈ R yLku (b, c) ∈ R, íkku (a, c) ∈ R.

//X

//M0//QN28//SUB//DL0//EQ

f = {(1, 1), (2, 3), (0, – 1), (– 1, – 3)} ÚkkÞ íku heíku

Z Ãkh ÔÞkÏÞkrÞík Mkwhu¾ rðÄuÞ Au, íkku f(x) þkuÄku.

//X

Äkhku fu, Mkwhu¾ rðÄuÞ f(x) = mx + c ÷uíkkt,

f(x) = mx + c íkÚkk f(1) = 1 f(2) = 3

\ f(1) = m(1) + c \ 3 = m(2) + c

\ 1 = m + c ...(1) \ 3 = 2m + c ...(2)

Ãkrhýk{ (1) yLku (2) ÃkhÚke,

m = 2Lku (1){kt {qfíkkt,

\ m + c = 1

\ c = 1 – 2

\ c = – 1

\ f(x) = mx + c ÃkhÚke,

f(x) = 2x – 1 ÚkkÞ.

//M0//QN29//SUB//DL0//EQ

f(x) = nkuÞ, íkku rðÄuÞLkku «Ëuþ þkuÄku.

//X

//M0//QN30//SUB//DL0//EQ

f(x) = Úke ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞLkku yk÷u¾ Ëkuhku.

//X

x = 0, íkku f(0) = 1 Au.

x = – 1,

íkku f(– 1) = 1 – (– 1) = 2, x = 2,

íkku f(2) = 2 + 1 = 3, x = 3,

íkku f(3) = 3 + 1 = 4, x = – 2,

íkku f(– 2) = 1 – (– 2) = 3 ÚkkÞ.

//M0//QN31//SUB//DL0//EQ

MktçktÄ f yu f(x) = Úke ÔÞkÏÞkrÞík Au yLku MktçktÄ g yu g(x) = Úke ÔÞkÏÞkrÞík Au, íkku Mkkrçkík fhku fu, f yu rðÄuÞ Au yLku g yu rðÄuÞ LkÚke.

//X

ynª, f(x) = ÃkhÚke,

ynª, ykf]rík ÃkhÚke òuE þfkÞ Au fu, «ËuþLkku Ëhuf ½xf Mkn«ËuþLkk yLkLÞ ({kºk yuf s) ½xf MkkÚku òuzkÞu÷ Au.

{kxu f yu rðÄuÞ Au.

g(x) =

ynª, ykf]rík ÃkhÚke òuE þfkÞ Au fu, «ËuþLkku ½xf 2 yu Mkn«ËuþLkk yuf fhíkkt ðÄw ½xf MkkÚku òuzkÞu÷k nkuðkÚke g yu rðÄuÞ LkÚke.

x2 = (2)2 = 4 = g(2)

3(2) = 6 = g(2)

//M0//QN32//SUB//DL0//EQ

f(x) = x2, íkku þkuÄku.

//X

f(1.1) = (1.1)2 = 1.21, f(1) = (1)2 = 1

\ =

=

=

= = 2.1

//M0//QN33//SUB//DL0//EQ

rðÄuÞ f(x) = Lkku «Ëuþ þkuÄku.

//X

f(x) =

«Ëuþ {u¤ððk {kxu,

AuË ≠ 0

\ x2 – 8x + 12 ≠ 0

\ (x – 6) (x – 2) ≠ 0

\ x – 6 ≠ 0 \ x – 2 ≠ 0

\ x ≠ 6 \ x ≠ 2

\ x ∈ R – {2, 6}

\ «Ëuþ = R – {2, 6}

//M0//QN34//SUB//DL0//EQ

f(x) = Úke ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh þkuÄku.

//X

f(x) =

«Ëuþ {u¤ððk {kxu,

x – 1 > 0

\ x > 1

\ x ∈ [1, ∞)

\ «Ëuþ : [1, ∞)

rðMíkkh {u¤ððk {kxu,

x ∈ [1, ∞) ⇒ x > 1

⇒ x – 1 > 0

⇒ > 0

⇒ f(x) > 0

⇒ f(x) ∈ [0, ∞)

\ f Lkku rðMíkkh = [0, ∞)

//M0//QN35//SUB//DL0

f(x) = |x – 1|Úke ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞLkku «Ëuþ yLku rðMíkkh þkuÄku.

//X

//M0//QN36//SUB//DL0//EQ

òu f = yu RÚke RLkwt rðÄuÞ nkuÞ, íkku fLkku rðMíkkh þkuÄku.

//X

f =

ynª, x ∈ R ⇒ x2 > 0

⇒ 1 + x2 > 1

⇒ > 0

nðu, x2 < x2 + 1

\ < 1

\ 0 < < 1

\ 0 < f(x) < 1

\ f(x) ∈ [0, 1)

\ f(x)Lkku rðMíkkh [0, 1) Au.

//M0//QN37//SUB//DL0//EQ

f, g : R → R, f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3Úke ÔÞkÏÞkrÞík rðÄuÞ Au, íkku f + g, f – g, þkuÄku.

//X

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x – 3 = 3x – 2

(f – g) (x) = f(x) – g(x) = x + 1 – (2x – 3)

= x + 1 – 2x + 3

= 4 – x

(x) = , g(x) ≠ 0, = , x ≠

//M0//QN38//SUB//DL0//EQ

òu f : {(1, 1), (2, 3), (0, – 1), (– 1, – 3)} yu f(x) = ax + bÚke ÔÞkÏÞkrÞík MktçktÄ nkuÞ, íkku a yLku b þkuÄku.

//X

(1, 1) : f(1) = 1 ÃkhÚke,

f(x) = ax + b

\ f(1) = a(1) + b

\ 1 = a + b ...(1)

(2, 3) : f(2) = 3 ÃkhÚke,

f(x) = ax + b

\ f(2) = a(2) + b

\ 3 = 2a + b ...(2)

(1) yLku (2) ÃkhÚke,

a = 2Lku Mk{e. (1){kt {qfíkkt,

\ a + b = 1

\ 2 + b = 1

//M0//QN39//SUB//DL0

R yu NÚke NLkku MktçktÄ Au. R : {(a, b) : a, b ∈ N yLku a = b2} ÚkkÞ íku heíku ÔÞkÏÞkrÞík Au, íkku þwt Lke[uLkkt rðÄkLkku MkíÞ Au ? (i) ∀a ∈ N {kxu (a, a) ∈ R (ii) òu (a, b) ∈ R, íkku (b, a) ∈ R (iii) òu (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R, íkku (a, c) ∈ R «íÞuf rðÄkLk{kt ík{khk sðkçkLke MkíÞkÚkoíkk [fkMkku.

//X

//M0//QN40//SUB//DL0//EQ

A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} yLku

f = {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}, íkku þwt Lke[uLkkt rðÄkLkku MkíÞ Au ? (i) f yu AÚke B ÃkhLkku MktçktÄ Au. (ii) f yu AÚke B ÃkhLkwt rðÄuÞ Au. ík{khk sðkçkLke MkíÞkÚkoíkk [fkMkku.

//X

ynª, f yu A × BLkku WÃkøký nkuðkÚke f yu MktçktÄ Au, {kxu rðÄkLk (i) MkíÞ Au.

íkÚkk ykf]rík 5hÚke òuE þfkÞ Au fu, «ËuþLkku ½xf ‘2’ yu Mkn«ËuþLkk çku ½xfku MkkÚku òuzkÞu÷ Au, {kxu f yu rðÄuÞ LkÚke. {kxu rðÄkLk (ii) MkíÞ LkÚke.

//M0//QN41//SUB//DL0

f yu Z × ZLkku WÃkøký Au. òu f = {ab, a + b) : a, b ∈ Z} Úke ÔÞkÏÞkrÞík Au, íkku þwt f yu ZÚke ZLkwt rðÄuÞ Au ? ík{khk sðkçkLke MkíÞkÚkoíkk [fkMkku.

//X

//M0//QN42//SUB//DL0//EQ

A = {9, 10, 11, 12, 13}, f : A → N, f(n) = nLkku {n¥k{ yrð¼kßÞ yðÞð Au. fLkku rðMíkkh þkuÄku.

//X