//M0//QN1//SUB//DL0

Mk{efhý x2 + x – 2 = 0Lkk Wfu÷økýLku ÞkËeLke heíku ÷¾ku.

//X

ynª, x2 + x – 2 = 0
∴ (x + 2) (x – 1) = 0
∴ x + 2 = 0 yÚkðk x – 1 = 0
∴ x = –2 yÚkðk x = 1
∴ Wfu÷økýLku ÞkËeLke heíku {–2, 1} ðzu ËþkoðkÞ Au.

//M0//QN2//SUB//DL0

øký {x : x yu ÄLk ÃkqýkOf MktÏÞk Au yLku x2 < 40} Lku ÞkËeLke heíku ÷¾ku.

//X

ynª, ykÃkýu yuðe ÄLk ÃkqýkOf MktÏÞk þkuÄðe Au su{Lkku ðøko 40 fhíkk LkkLkku nkuÞ.
su{ fu, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Lkku ðøko 40 fhíkkt LkkLkku nkuÞ. íkuÚke ykÃku÷ økýLku {1, 2, 3, 4, 5, 6} ðzu ËþkoðkÞ Au.

//M1//QN3//FB//DL0

øký A = {1, 4, 9, 16, 25, .....} Lku økwýÄ{oLke heíku ÷¾ku.

//X

ynª, ykÃkýLku øký A {kt «kf]ríkf MktÏÞkLkk ðøko ykÃku÷k Au. {kxu ykÃku÷k økýLku,
A = {x : x yu «kf]ríkf MktÏÞkLkku ðøko Au.}
yÚkðk
A = {x : x = n2, n ∈ N} ðzu Ãký ÷¾e þfkÞ Au.

//M0//QN4//SUB//DL0//EQ

øký Lku økwýÄ{oLke heíku Ëþkoðku.

//X

ynª, òuE þfkÞ Au fu Ëhuf ½xfLkku ytþ íkuLkk AuËÚke 1 sux÷ku LkkLkku Au íkÚkk ytþ ykuAk{kt ykuAku 1 yLku ðÄw{kt ðÄw 6 Au. {kxu ykÃku÷ økýLku,
{x : x = , n ∈ N, 1 < n < 6} ðzu Ëþkoðe þfkÞ.

//M0//QN5//SUB//DL0

Lke[uLkk{ktÚke fÞk Mk{qn øký Ëþkoðu Au ? ík{khku sðkçk [fkMkku.(i) J Úke þY Úkíkk ytøkúuS fì÷uLzhLkk ð»koLkk ík{k{ {rnLkkykuLkku Mk{qn.

//X

yk Mk{qn øký Ëþkoðu Au fkhý fu J Úke þY Úkíkk ytøkúuS fì÷uLzhLkk {rnLkkyku January, June yLku July Au. yk{, yk Mk{qn MkwÔÞkÏÞkrÞík Au.
(ii) ¼khíkLkk ËMk yrík «rík¼kþk¤e ÷u¾fkuLkku Mk{qn.
yk Mk{qn øký Ëþkoðíkku LkÚke fkhý fu «rík¼kþk¤e ÷u¾f {kxuLkku yr¼«kÞ ÔÞÂõíkyu ÔÞÂõíkyu çkË÷kíkku nkuðkÚke íku MkwÔÞkÏÞkrÞík LkÚke.
(iii) ËwrLkÞkLkk r¢fuxLkk W¥k{ yrøkÞkh çkìxTMk{uLkkuLke xe{.
yk Mk{qn øký Ëþkoðíkku LkÚke fkhý fu W¥k{ çkìxTMk{uLk {kxuLkku yr¼«kÞ ÔÞÂõíkyu ÔÞÂõíkyu çkË÷kÞ {kxu íku MkwÔÞkÏÞkrÞík LkÚke.
(iv) ík{khk ðøkoLkk çkÄk s AkufhkykuLkku Mk{qn.
yk Mk{qn øký Au fkhý fu AkufhkykuLkku Mk{qn MkwÔÞkÏÞkrÞík Au.
(v) 100 Úke LkkLke çkÄe s «kf]ríkf MktÏÞkykuLkku Mk{qn.
yk Mk{qn øký Ëþkoðu Au fkhý fu 100 Úke LkkLke çkÄe s «kf]ríkf MktÏÞkyku MkwÔÞkÏÞkrÞík Au su{ fu 1, 2, 3, ....., 99.
(vi) ÷u¾f {wLþe «u{[tËu ÷¾u÷e çkÄe s Lkð÷fÚkkykuLkku Mk{qn.
yk Mk{qn øký Au fkhý fu {wLþe «u{[tËu ÷¾u÷e çkÄe s Lkð÷fÚkkykuLkku Mk{qn MkwÔÞkÏÞkrÞík Au.
(vii) çkÄk s Þwø{ ÃkqýkOfkuLkku Mk{qn.
yk Mk{qn øký Au fkhý fu çkÄk s Þwø{ ÃkqýkOfku MkwÔÞkÏÞkrÞík Au.
(viii) yk «fhýLkk çkÄk s «§kuLkku Mk{qn.
yk Mk{qn øký Au fkhý fu yk «fhýLkk çkÄk s «§kuLkku Mk{qn MkwÔÞkÏÞkrÞík Au.
(ix) ËwrLkÞkLkkt ¾qçk s ¼ÞkLkf «kýeykuLkku Mk{qn.
yk Mk{qn øký Ëþkoðíkku LkÚke fkhý fu ËwrLkÞkLkkt ¼ÞkLkf «kýeyku rðþuLkku yr¼«kÞ ÔÞÂõíkyu ÔÞÂõíkyu çkË÷kíkku nkuÞ Au.

//M0//QN6//SUB//DL0

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ÷ku íkÚkk ¾k÷e søÞk{kt ÞkuøÞ Mkt¿kk ∈ yÚkðk ∉ {qfku.

//X

(i) 5 ∈ A
(ii) 8 ∉ A
(iii) 0 ∉ A
(iv) 4 ∈ A
(v) 2 ∈ A
(vi) 10 ∉ A

//M0//QN7//SUB//DL0

Lke[uLkk økýkuLku ÞkËeLke heíku ÷¾ku :(i) A = {x : x yu ÃkqýkOf Au yLku –3 < x < 7}

//X

ynª, ykÃkýu Võík –3 yLku 7 ðå[uLke s ÃkqýkOf MktÏÞkyku ÷¾ðe Au.
∴ A = {–2, –1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) B = {x : x yu 6 fhíkkt LkkLke «kf]ríkf MktÏÞk Au.}
∴ B = {1, 2, 3, 4, 5}
(iii) C = {x : x yu suLkk ytfkuLkku Mkhðk¤ku 8 Úkíkku nkuÞ íkuðe çku ytfkuLke MktÏÞk Au.}
∴ C = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}
fkhý fu, 1 + 7 = 8, 2 + 6 = 8 ðøkuhu.
(iv) D = {x : x yu 60 Lkku ÄLk yðÞð nkuÞ íkuðe yrð¼kßÞ MktÏÞk Au.}
ynª, 60 Lkk fw÷ ÄLk yðÞð 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Au. íku{ktÚke yrð¼kßÞ 2, 3, 5 Au.
∴ D = {2, 3, 5}
(v) E = TRIGONOMETRY þçËLkk {q¤kûkhkuLkku øký.
E = {T, R, I, G, O, N, M, E, Y}
(vi) F = BETTER þçËLkk {q¤kûkhkuLkku øký.
F = {B, E, T, R}

//M0//QN8//SUB//DL0//EQ

Lke[uLkk økýkuLku økwýÄ{oLke heíku ÷¾ku :(i) {3, 6, 9, 12} = A

//X

ynª, øký{kt ykÃku÷e MktÏÞkyku 3 Lke økwýf Au.
∴ A = {x : x = 3n, 1 < n < 4, n ∈ N}
(ii) B = {2, 4, 8, 16, 32}
ynª, øký{kt ykÃku÷e MktÏÞkyku 2 Lke ½kíkLkk MðYÃk{kt Au.
∴ B = {x : x = 2n, 1 < n < 5, n ∈ N}
(iii) C = {5, 25, 125, 625}
ynª, øký{kt ykÃku÷e MktÏÞkyku 5 Lke ½kíkLkk MðYÃk{kt Au. {kxu, C = {x : x = 5n, 1 < n < 4, n ∈ N}
(iv) {2, 4, 6,.....} = D
ynª, øký{kt ykÃku÷ MktÏÞkyku 2 Lke økwýf (Þwø{ «kf]ríkf MktÏÞkyku) Au íkÚkk yk yLktík MkwÄe Au.
∴ D = { : x = 2n, n ∈ N}
(v) {1, 4, 9,....., 100} = E
ynª, øký{kt ykÃku÷e MktÏÞkyku Ãkqýoðøko «kf]ríkf MktÏÞkyku Au.
su{ fu,
(1)2 = 1, (2)2 = 4, (3)2 = 9, ....., (10)2 = 100
∴ E = {x : x = n2, 1 < n < 10, n ∈ N}

//M0//QN9//SUB//DL0//EQ

Lke[uLkk økýLkk çkÄk s ½xfku ÷¾ku.(i) A = {x : x yu yÞwø{ «kf]ríkf MktÏÞk Au.}

//X

A = {1, 3, 5, 7, 9, .....}
(ii) B = {x : x yu ÃkqýkOf Au, < x < }
ynª, < x < Lku –0.5 < x < 4.5 ðzu Ëþkoðíkk ynª, –0.5 yLku 4.5 ðå[uLke ÃkqýkOf MktÏÞkyku ËþkoððkLke Au.
∴ B = {0, 1, 2, 3, 4}
(iii) C = {x : x yu ÃkqýkOf Au, x2 < 4}
ynª, yuðe ÃkqýkOf MktÏÞk ÷uðe Au fu su{Lkku ðøko 4 yLku 4 fhíkkt LkkLkku ÚkkÞ.
∴ C = {–2, –1, 0, 1, 2}
(iv) D = {x : x yu “LOYAL” þçËLkku {q¤kûkh Au.}
D = {L, O, Y, A}
(v) E = {x : x yu ð»koLkku 31 rËðMkLkku Lk nkuÞ íkuðku {rnLkku Au.}
E = {Vuçkúwykhe, yur«÷, sqLk, MkÃxuBçkh, LkðuBçkh}
(vi) F = {x : x yu ytøkúuS {q¤kûkhkuLke ¢{kLkwMkkh ÞkËe{kt K Ãknu÷kLkku ÔÞtsLk}
F = {b, c, d, f, g, h, j}

//M0//QN10//SUB//DL0

zkçke çkkswyu ÞkËeLke heíku Ëþkoðu÷k økýkuLku s{ýe çkkswyu íkuLkk s økwýÄ{oLke heíku Ëþkoðu÷k økýku MkkÚku Mkktf¤ku.

(i)

{1, 2, 3, 6}

(a)

{x : x yu yrð¼kßÞ MktÏÞk Au yLku 6 Lkku yðÞð Au.}

(ii)

{2, 3}

(b)

{x : x yu 10 fhíkkt LkkLke yÞwø{ «kf]ríkf MktÏÞk Au.}

(iii)

{M, A, T, H, E, I, C, S}

(c)

{x : x yu «kf]ríkf MktÏÞk Au yLku 6Lkku yðÞð Au.}

(iv)

{1, 3, 5, 7, 9}

(d)

{x : x yu

MATHEMATICS

þçËLkku {q¤kûkh Au.}

//X

sðkçkku : (i) → (c) (ii) → (a)
(iii) → (d) (iv) → (b)
su øký yuf Ãký ½xf Ähkðíkku Lk nkuÞ íku{Lku ¾k÷e øký yÚkðk rhõík øký fnu Au.
¾k÷e økýLku Mktfuík{kt φ yÚkðk {} ðzu ËþkoðkÞ Au.
WËknhý : øký A = Éý «kf]ríkf MktÏÞkykuLkku øký.
ynª, fkuE Ãký «kf]ríkf MktÏÞk nt{uþkt ÄLk s nkuÞ {kxu fkuE Éý «kf]ríkf MktÏÞkLkwt yÂMíkíð LkÚke. {kxu yk øký{kt fkuE MkÇÞ Lk nkuðkÚke íku ¾k÷e øký Au.
su øký{kt MkÇÞkuLke MktÏÞk rLkrùíkÃkýu økýe þfkÞ íkuðe nkuÞ yÚkðk su øký ¾k÷e Lk nkuÞ íkuLku yrhõík MkkLík øký fnu Au.
WËknhý : ¼khík{kt ykðu÷k ík{k{ IIT Lkku øký yu MkkLík øký Au.
MkkLík Lk nkuÞ íkuðk økýLku yLktík øký fnu Au. yLktík øký{kt MkÇÞ MktÏÞk Mker{ík LkÚke. íkuÚke yLktík økýLku ÞkËeLke heíku Ëþkoððk {kxu íku øký{kt ykðíkk y{wf MkÇÞku ÷¾eLku ºký xÃkfkt (...) {qfðk{kt ykðu Au.
WËknhý : øký : A = Ãkqýo MktÏÞkykuLkku øký
∴ A = {0, 1, 2, 3,...}
òu çku øký A yLku B çktLkuLkk ½xfku Mk{kLk nkuÞ
(¢{Lkwt {n¥ð LkÚke) íkku íkuðk økýLku Mk{kLk økýku
fnu Au.
íku{Lku Mktfuík{kt A = B ðzu ËþkoðkÞ Au.
WËknhý : A = {a, e, i, o, u},
B = {e, i, a, o, u} ynª, A = B Au.

//M0//QN11//SUB//DL0//EQ

Lke[uLkk økýku{ktÚke fÞk MkkLík yLku fÞk yLktík øký Au íku Lk¬e fhku.(i) {x : x ∈ N yLku (x – 1) (x – 2) = 0}

//X

ynª, (x – 1) (x – 2) = 0
∴ x – 1 = 0 yÚkðk x – 2 = 0
∴ x = 1 yÚkðk x = 2
∴ ykÃku÷ øký = {1, 2} su MkkLík øký Au.
(ii) {x : x ∈ N yLku x2 = 4}
ynª, x2 = 4
∴ x = ± 2 Ãkhtíkw x ∈ N nkuðkÚke x = 2 ÚkkÞ.
∴ ykÃku÷ øký = {2} su MkkLík øký Au.
(iii) {x : x ∈ N yLku 2x – 1 = 0}
ynª, 2x – 1 = 0 ∴ 2x = 1 ∴ x = ∉ N
Ãkhtíkw x ∈ N nkuðkÚke ykÃku÷ku øký ¾k÷e øký Au. su MkkLík øký Au.
(iv) {x : x ∈ N yLku x yrð¼kßÞ MktÏÞk Au.}
yk øký{kt Ëhuf yrð¼kßÞ MktÏÞkykuLkku Mk{kðuþ Úkíkku nkuðkÚke íku yLktík øký Au.
(v) {x : x ∈ N yLku x yÞwø{ ÃkqýkOf Au.}
yk øký{kt Ëhuf yÞwø{ ÃkqýkOf MktÏÞkykuLkku Mk{kðuþ Úkíkku nkuðkÚke íku yLktík øký Au.

//M0//QN12//SUB//DL0

Mk{kLk økýkuLke òuze þkuÄku (òu nkuÞ íkku). ík{khk W¥kh {kxu fkhý ykÃkku. A = {0}, B = {x : x > 15 yLku x < 5}, C = {x : x – 5 = 0}, D = {x : x2 = 25}, E = {x : x yu Mk{efhý x2 – 2x – 15 = 0 Lkwt ÄLk ÃkqýkOf çkes Au.}

//X

ynª, A = {0}, B = φ, C = {5}, D = {–5, 5}, E = {5}
ynª, Võík C = E Au.

//M0//QN13//SUB//DL0//EQ

Lke[uLkk{ktÚke fE òuzeLkk øký Mk{kLk Au ? ík{khk sðkçkLke ÞÚkkÚkoíkk [fkMkku.(i) “ALLOY” Lkk {q¤kûkhkuLkku øký X yLku “LOYAL” Lkk {q¤kûkhkuLkku øký B Au.

//X

ynª, X = {A, L, O, Y} Úkþu íkÚkk B = {L, O, Y, A} su Mk{kLk Au. {kxu X = B Úkþu.
(ii) A = {n : ∈ Z yLku n2 < 4}, B = {x : x ∈ R yLku x2 – 3x + 2 = 0}
ynª, A = {–2, –1, 0, 1, 2} íkÚkk B = {2, 1} ynª, A ≠ B nkuðkÚke Mk{kLk øký LkÚke.

//M0//QN14//SUB//DL0

Lke[uLkk{ktÚke fÞk øký ¾k÷e økýLkkt WËknhý Au ?(i) 2 ðzu rð¼kßÞ yÞwø{ «kf]ríkf MktÏÞkykuLkku øký.

//X

2 ðzu rð¼kßÞ nkuÞ íkuðe Ëhuf «kf]ríkf MktÏÞkyku nt{uþkt Þwø{ s nkuÞ.
∴ ykÃku÷ku øký ¾k÷e øký Au.
(ii) Þwø{ yrð¼kßÞ «kf]ríkf MktÏÞkykuLkku øký.
2 yu Þwø{ yrð¼kßÞ «kf]ríkf MktÏÞk nkuðkÚke ykÃku÷ku øký ¾k÷e øký LkÚke.
(iii) {x : x yu «kf]ríkf MktÏÞk Au, x < 5 yLku x > 7}
fkuE «kf]ríkf MktÏÞk 5 fhíkkt LkkLke nkuÞ yLku 7 fhíkkt {kuxe nkuÞ íku yufMkkÚku þõÞ LkÚke. {kxu ykÃku÷ øký ¾k÷e øký Au.
(iv) {y : y yu çku r¼LLk Mk{ktíkh hu¾kykuLkwt Mkk{kLÞ ®çkËw Au.}
fkuE çku r¼LLk Mk{ktíkh hu¾kyku õÞkhuÞ yufçkeòLku AuËu Lknª. {kxu íku{Lkwt Mkk{kLÞ ®çkËw {¤u Lknª. {kxu ykÃku÷ øký ¾k÷e øký Au.

//M0//QN15//SUB//DL0

Lke[uLkk{ktÚke fÞk øký MkkLík øký yLku fÞk øký yLktík øký Au ?(i) ð»koLkk {rnLkkykuLkku øký

//X

ynª, ð»koLkk {rnLkkyku 12 rLkrùík nkuðkÚke íku MkkLík øký Au.
(ii) {1, 2, 3,.....}
ykÃku÷ku øký «kf]ríkf MktÏÞk øký nkuðkÚke íku yLktík øký Au.
(iii) {1, 2, 3,....., 99, 100}
ykÃku÷ku øký yu 1 Úke 100 MkwÄeLke «kf]ríkf MktÏÞkykuLkku Mk{kðuþ fhu Au su rLkrùík nkuðkÚke MkkLík øký Au.
(iv) 100 fhíkkt {kuxk ÄLk ÃkqýkOfkuLkku øký.
ykÃku÷k øký{kt 100 fhíkkt {kuxk nkuÞ íkuðk ík{k{ ÄLk ÃkqýkOfkuLkku Mk{kðuþ Úkíkku nkuðkÚke MkÇÞkuLke MktÏÞk yrLkrùík Au. {kxu ykÃku÷ku øký yLktík øký Au.
(v) 99 fhíkkt LkkLke yrð¼kßÞ MktÏÞkykuLkku øký.
ykÃku÷k øký{kt 99 fhíkkt LkkLke ík{k{ yrð¼kßÞ MktÏÞkykuLkku Mk{kðuþ Úkíkku nkuðkÚke íku{kt MkÇÞkuLke MktÏÞk rLkrùík Au. {kxu ykÃku÷ku øký MkkLík øký Au.

//M0//QN16//SUB//DL0

Lke[uLkk økýku{ktÚke fÞk øký MkkLík yLku fÞk øký yLktík Au íku þkuÄku.(i) X - yûkLku Mk{ktíkh hu¾kykuLkku øký.

//X

X - yûkLku Mk{ktíkh nkuÞ íkuðe yLktík hu¾kyku Ëkuhe þfkíke nkuðkÚke ykÃku÷ku øký yLktík øký Au.
(ii) ytøkúuS {q¤kûkhkuLkku øký.
ytøkúuSLkk fw÷ 26 {q¤kûkhku nkuðkÚke ykÃku÷ku øký MkkLík Au.
(iii) 5 Lke økwrýík MktÏÞkykuLkku øký.
ynª, {5, 10, 15, 20,.....} su yLktík øký Ëþkoðu Au.
(iv) Ãk]Úðe Ãkh ðMkíkk «kýeykuLkku øký.
Ãk]Úðe Ãkh økýe þfkÞ íkux÷e MktÏÞk{kt «kýeyku ðMku Au. {kxu ykÃku÷ku øký MkkLík øký Au.
(v) Wøk{®çkËw (0, 0) {ktÚke ÃkMkkh Úkíkkt ðíkwo¤kuLkku øký.
Wøk{®çkËw{ktÚke ÃkMkkh Úkíkk nkuÞ íkuðk yLktík ðíkwo¤ku Ëkuhe þfkÞ. {kxu ykÃku÷ku øký yLktík øký Au.

//M0//QN17//SUB//DL0

Lke[uLkk{ktÚke Lk¬e fhku fu A = B Au fu Lknª.(i) A = {a, b, c, d}, B = {d, c, b, a}

//X

ynª, çktLku øký{kt Mk{kLk MkÇÞku nkuðkÚke çktLku øký Mk{kLk Au. {kxu A = B ÚkkÞ.
(ii) A = {4, 8, 12, 16}, B = {8, 4, 16, 18}
ynª, çktLku øký{kt y÷øk MkÇÞku nkuðkÚke A ≠ B.
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x : x yu Þwø{ ÄLk ÃkqýkOf Au yLku x < 10}
ynª, øký B = {2, 4, 6, 8, 10} su øký A Lku Mk{kLk Au. {kxu A = B Au.
(iv) A = {x : x yu 10 Lkku økwrýík Au.}
B = {10, 15, 20, 25, 30,.....}
A = {10, 20, 30, 40,.....} ynª A yLku B çktLku økýLkk MkÇÞku y÷øk nkuðkÚke A ≠ B.

//M0//QN18//SUB//DL0

Lke[u ykÃku÷e òuzeykuLkk øký Mk{kLk Au ? fkhý ykÃkku.(i) A = {2, 3}, B = {x : x yu x2 + 5x + 6 = 0 Lkku Wfu÷ Au.}

//X

ynª, Mk{efhý x2 + 5x + 6 = 0
∴ x2 + 3x + 2x + 6 = 0
∴ x (x + 3) + 2 (x + 3) = 0
∴ (x + 3) (x + 2) = 0
∴ x + 3 = 0 yÚkðk x + 2 = 0
∴ x = –3 yÚkðk x = –2
{kxu, B = {–3, –2} íkÚkk A = {2, 3} ykÃku÷ Au.
∴ A ≠ B.
(ii) A = {x : x yu FOLLOW þçËLkku {q¤kûkh Au.}
B = {y : y yu WOLF þçËLkku {q¤kûkh Au.}
A = {F, O, L, W} íkÚkk
B = {W, O, L, F}.
ynª, çktLku øký{kt Mk{kLk MkÇÞku nkuðkÚke A = B Úkþu.

//M0//QN19//SUB//DL0

Lke[u ykÃku÷k øký{ktÚke Mk{kLk øký ÃkMktË fhku. A = {2, 4, 8, 12}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {4, 8, 12, 14}, D = {3, 1, 4, 2}, E = {–1, 1}, F = {0, a}, G = {1, –1}, H = {0, 1}

//X

ynª, B = {1, 2, 3, 4} yLku D = {3, 1, 4, 2} yu Mk{kLk økýLke òuz Au.
ynª, E = {–1, 1} yLku G = {1, –1} yu Mk{kLk økýLke òuz Au.
òu øký A Lkku «íÞuf ½xf yu øký B Lkku Ãký ½xf nkuÞ íkku øký A Lku øký B Lkku WÃkøký fnuðkÞ Au.
WÃkøkýLku Mktfuík{kt ‘⊂’ ðzu ËþkoðkÞ Au.
ßÞkhu a ∈ A nkuÞ íÞkhu a ∈ B nkuÞ íkku A ⊂ B ÚkkÞ.
òu A yu B Lkku WÃkøký Lk nkuÞ íkku íkuLku A ⊄ B ðzu ËþkoðkÞ Au.
WÃkøkýLke ÔÞkÏÞk ÃkhÚke fne þfkÞ fu, “Ëhuf øký yu ÃkkuíkkLkku WÃkøký Au.”
¾k÷e øký (φ) yu Ëhuf økýLkku WÃkøký Au.
yk{ fne þfkÞ fu, ¾k÷e øký rMkðkÞLkk Ëhuf økýLku ykuAk{kt ykuAk çku WÃkøký íkku nkuÞ s. (a) ¾k÷e øký yLku (b) íku øký Ãkkuíku s.
ynª, MÃkü heíku fne þfkÞ fu,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
ynª, yMkt{uÞ MktÏÞkøkýLku T ðzu ËþkoðkÞ Au.
T = {x : x ∈ R, x ∉ Q}
∴ T ⊂ R Ãký N ⊄ T.
çku øký A yLku B {kxu òu A ⊂ B yLku A ≠ B íkku A Lku B Lkku Wr[ík WÃkøký fnu Au yLku B Lku A Lkku yrÄøký fnu Au.
òu øký A {kt yuf s MkÇÞ nkuÞ íkku A Lku yufkfe øký (Singleton) fnu Au.
òu øký A {kt MkÇÞkuLke MktÏÞk m nkuÞ íkku íkuLkk fw÷ WÃkøkýkuLke MktÏÞk 2m ÚkkÞ, m > 1, m ∈ N.